Análisis Funcional by Juan Carlos Cabello Píñar

By Juan Carlos Cabello Píñar

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Cociente de espacios normados. Sea M un subespacio de un espacio vectorial X. Consideremos en X la relación binaria R definida, para todo x, y ∈ X, por xRy si, y sólo si , x − y ∈ M. Se comprueba sin dificultad que R es una relación de equivalencia. El conjunto cociente de X por R se representa por X/M. Sus elementos (clases de equivalencia) son de la forma x + M donde x ∈ X. Por tanto, si x, y ∈ X, es inmediato que x + M = y + M si, y sólo si, x − y ∈ M. Si definimos la suma y el producto por escalares de la siguiente forma (totalmente natural): (x + M ) + (y + M ) = (x + y) + M, α(x + M ) = αx + M, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K habremos dotado (como puede comprobarse fácilmente) a X/M de estructura de espacio vectorial sobre K, el espacio vectorial cociente de X por M .

6 (de representación de Riesz para C([a, b])∗ La aplicación φ : N BV [a, b] −→ C([a, b])∗ definida por b φ(g)(f ) = f (t)dg(t), a para cada f ∈ C([a, b]) y g ∈ N BV [a, b] define una biyección lineal isométrica. 48 Capítulo 2. 3. El problema de los momentos Históricamente, los teoremas de extensión Hahn-Banach tienen su raíz en el estudio de los sitemas de infinitas ecuaciones lineales. Para ver la conexión, consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, ai1 x1 + ai2 x2 + ...

El Corolario anterior pone de manifiesto cierta simetría entre las normas de X y de X : f = sup{|f (x)| : x ∈ X, x = 1} (f ∈ X ∗ ) ∗ x = sup{|f (x)| : f ∈ X ∗ , f = 1} (x ∈ X). Así pues, el conocimiento del espacio dual X ∗ junto con su norma, permite la descripción de la norma de X. Nuestro siguiente resultado muestra la capacidad del dual de un espacio normado para separar un subespacio de un punto exterior al mismo. 8 Sea X un espacio normado y M un subespacio de X. Si x0 es un punto de X tal que δ = d(x0 , M ) > 0, entonces existe f ∈ X ∗ tal que f = 1, f (x0 ) = δ y f (x) = 0, ∀x ∈ M.

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