Analysis by Stefan Hildebrandt

By Stefan Hildebrandt

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach paintings der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die Analysis.

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Die Gleichung hat den Grad n, wenn an = 0 ist. Sie braucht u ¨berhaupt keine reelle Wurzel zu haben, wie beispielsweise die Gleichung (3) x2 + 1 = 0 26 Kapitel 1. Grundlagen der Analysis lehrt. h. √ i2 = −1 oder i = −1 , und bilden (vgl. 17) den K¨ orper C der komplexen Zahlen x, y ∈ R , z = x + iy , so ergibt sich, daß jede algebraische Gleichung n-ten Grades mit n ≥ 1, (4) an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0 , mit a0 , a1 , . . , an ∈ C , an = 0, genau n Wurzeln z1 , z2 , . . , zn besitzt, wenn man jede Wurzel so oft aufz¨ ahlt, wie es ihrer Vielfachheit entspricht, und das Polynom n (5) aν z ν p(z) := ν=0 auf der linken Seite von (4) hat dann die Produktdarstellung (6) p(z) = an (z − z1 )(z − z2 ) .

4. F¨ ur welche n0 ∈ N gilt n n n n < n! < f¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ n0 ? 3 2 5. Man beweise f¨ ur positive a1 , . . , an ∈ R die Ungleichung n ν=1 aν n ν=1 1/aν ≥ n2 . 6. Auf n Orchester sollen ν Musiker so verteilt werden, daß im i-ten Orchester genau νi Musiker sitzen, also ν1 + · · · + νn = ν. Man zeige, daß es genau ν! ν2 ! . νn ! verschiedene Verteilungen gibt. 7. Jede nach oben (unten) beschr¨ ankte Menge ganzer Zahlen besitzt ein gr¨ oßtes (kleinstes) Element. Beweis? 8. Man zeige: Ist r rational und x irrational, so ist r + x irrational; weiterhin ist auch rx irrational, sofern r = 0 ist.

Bei [a, b] geh¨ oren die Randpunkte a, b zu I; man nennt das Intervall abgeschlossen. Bei (a, b) geh¨ oren die Randpunkte nicht zu I; man nennt dieses Intervall offen. Die beiden anderen Intervalle [a, b) und (a, b] heißen halboffen. Der Punkt x0 = schreiben: a+b heißt Mittelpunkt von I. Mit seiner Hilfe k¨onnen wir 2 [a, b] = [x0 − , x0 + ] , wenn wir (a, b) = (x0 − , x0 + ) , := 12 (b − a) = 12 |I| setzen. Man nennt das offene Intervall B (x0 ) := {x ∈ R : |x − x0 | < } = (x0 − , x0 + ) mit > 0 eine -Umgebung von x0 in R.

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